Unitat 1

Zeros d'una equació

Els zeros d’una equació són les seves solucions. Parlem de zeros o d’arrels, ja que sovint busquem aquestes solucions per resoldre l’equació  \(f(x)=0\), on \(f(x)\) és una funció. Parlem, aleshores, dels zeros o les arrels de la funció.

Contingut exercicis
  • Si f(x) és un polinomi de grau 1, podem trobar el zero amb el mètode de transposar termes.
  • Si  f(x) és un polinomi de grau 2, podem trobar els zeros amb la fórmula:

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

  • Si  f(x)  és un polinomi de grau més gran que 2, podem intentar treure factor comú, i aplicar la regla de Ruffini.

 

Però, com podrem buscar els zeros d’una equació si f(x) no és un polinomi, o es tracta d’un polinomi i no les podem trobar amb la regla de Ruffini?  Per sort hi ha alguns mètodes per trobar-los (de forma exacta, o aproximacions).

 

Exemple. 

Resoldrem l’equació: \sqrt x-x+1=0

En aquest cas  f(x)=\sqrt x-x+1.  Substituirem alguns valors:

\begin{matrix}\text{Si} & x=1 &\rightarrow & f(1)=\sqrt{1}-1+1 &=&1\\&\\\text{Si} & x=2 &\rightarrow & f(2)=\sqrt{2}-2+1 &=& 0,4142 \\&\\\text{Si} & x=3 &\rightarrow & f(3)=\sqrt{3}-3+1& =&-0,2679 \\&\\\end{matrix}

 

Com que f(2)  és positiu i  f(3) es negatiu, buscarem el zero de l’equació entre 2 i 3.

\text{Si}\:x=2,5\rightarrow f(2,5)=\sqrt{2,5}-2,5+1=0,0811.

 

Ara tenim que f(2,5) és positiu i  f(3) és negatiu.  Buscarem el zero entre 2,5 i 3.

\text{Si}\:x=2,75\rightarrow f(2,75)=\sqrt{2,75}-2,75+1=0,0916.

 

El següent valor el trobarem entre 2,5 i 2,75.

\text{Si}\:x=2,625\rightarrow f(2,625)=\sqrt{2,625}-2,25+1=-0,0048.

 

Tot i que podríem continuar, podem prendre com a bona aproximació el valor x=2,625.

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.