Unitat 49

Variacions amb repetició i sense repetició

De vegades ens trobem amb algun problema on se’ns pregunta:  “De quantes maneres podem ...?”  La part de les matemàtiques que s’encarrega de solucionar aquests problemes s’anomena combinatòria.

Contingut exercicis

El primer tipus de problemes que estudiarem correspon a les variacions, que poden ser amb repetició o sense.  Vegem un exemple.

1. Volem fer banderes pels equips participants en una competició.  Cada bandera ha de tenir tres franges (superior, central i inferior).  I disposem de teles de color blanc, groc, vermell, verd i blau.  Quantes banderes diferents podrem confeccionar si podem repetir colors?

Per resoldre el problema pensarem que anem decidint el color de les franges en un determinat ordre.  I les diferents franges les representem mitjançant un diagrama en arbre.

MAT_33_4_1

A cada franja de la bandera tenim 5 opcions, i com que hi ha 3 franges, en total tenim 5\cdot 5\cdot 5 = 5^3 possibles banderes.

Aquest exemple correspon a variacions amb repetició de 5 elements agafats de 3 en 3.

VR_{5,3}=5^3=125

En general les variacions amb repetició de m elements agafats de n en n és:

VR_{m,n}=m^n

 

 

Ara veurem un exemple de variacions on no podem repetir els elements.

2. Amb les cinc vocals { a , e , i , o , u } volem formar codis formats per dues lletres diferents, per tal de classificar uns expedients.  Quants codis diferents podrem formar?

Si pensem que formem el codi agafant la primera lletra i després afegim la segona, les opcions que tenim són:

Primera lletra → 5 opcions.

Segona lletra  →  4 opcions.

Per tant, en total tenim  5\cdot 4 = 20 possibles codis.

Ho podem escriure com VR_{5,5}=5\cdot 4 = 20 .  I en general, les variacions sense repetició de m elements agafats de n en n és:

V_{m,n}=\overset{\text{n factors}}{\overbrace{m(m-1)\cdot (m-2)...}}=m(m-1)(m-2)...(m-n+1)

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.