Unitat 2

Resolució d'equacions per descomposició factorial

Contingut exercicis

Si volem resoldre una equació del tipus P(x) = 0 , on P(x) és un polinomi de grau més gran que 2, podem factoritzar el polinomi.  Si aconseguim descompondre el polinomi en polinomis de primer grau, tindrem:

a(x-a_1 )(x-a_2 )(x-a_3 )...=0

I si un producte d’uns quants factors és igual a zero, un dels factors ha de ser zero.  Això vol dir que les solucions seran:

\begin{matrix} (x-a_1 ) & = & 0& \rightarrow& x= a_1\\ (x-a_2 ) & = & 0 & \rightarrow& x=a_2\\...\end{matrix}

 

Exemple.

Volem resoldre  x^3-6x^2+11x-6=0 .  Es tracta d’una equació de tercer trau, per tant hem d’intentar factoritzar el polinomi.  Si fem la regla de Ruffini obtenia (x -1)\:(x-2)\:(x -3)=0 .

Aleshores, les tres possibilitats són:

  • (x-1)=0  → \quad x=1.
  • (x-2)=0  → \quad x=2.
  • (x-3)=0  → \quad x=3.

 

Exemple 2.

Resolem l’equació  x^3+3x^2+3x+2=0.

Factoritzem el polinomi amb la regla de Ruffini, i obtenim:

(x +2)(x^2+x+1)=0

El polinomi  x^2+x+1 no es pot descompondre més amb la regla de Ruffini. Com que és un polinomi de grau 2, podem provar amb la fórmula de l’equació de segon grau.

x=\dfrac{-1\pm\sqrt{{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}      No té solucions.

És a dir, que l'única solució surt de (x + 2)=0x=-2 .

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.