Unitat 39

Resolució de problemes amb trigonometria II

Ara estudiarem alguns problemes trigonomètrics que no són tan immediats com els que hem fet a la càpsula anterior.

Contingut exercicis

Exemple 1. 

Volem mesurar l’alçada d’una torre a la qual no podem accedir.  Ens situem a una certa distància (que direm x) i observem el punt més alt de la torre amb un angle d’elevació de 70º.  Si ens fem enrere 15 metres, tan sols cal aixecar la vista 50º per veure el punt més alt de la torre.

MAT_58_4_1

Des de l’angle de 70º,  \text{tan}(70)=\frac{\text{catet oposat}}{\text{catet contigu}}=\frac{h}{x}

I des de l’angle de 50º,  \text{tan}(50)=\frac{\text{catet oposat}}{\text{catet contigu}}=\frac{h}{x+15}

 

Aleshores podrem resoldre el sistema d’equacions

\left\{\begin{matrix}\text{tan}(70)&=&2.7474 = \frac{h}{x}& \\& \\\text{tan}(50)&=&1.1917 = \frac{h}{x+15}\end{matrix}\right.

 

Si aïllem la incògnita h de les dues equacions obtenim

\left\{\begin{matrix}h&=& 2.7474x&\\h &=& 1.1917(x+15)\end{matrix}\right.

 

I per tant, podem igualar les dues expressions:

2.7474x=1.1917(x+15)\Rightarrow 2.7474x=1.1917x+17.8755

2.7474x-1.1917x=17.8755\Rightarrow 1.5557x=17.8755\Rightarrow x=\frac{17.8755}{1.5557}

x=11.4903\text{ m}

 

Finalment calculem l’alçada h=2.7474x=2.7474\cdot 11.4903=31.56\text{ metres.}

 

Exemple 2.

Un altre tipus de problema que podem resoldre és quan coneixem dos dels costats d’un triangle rectangle i volem calcular l’angle.  Fixem-nos en el següent triangle.

MAT_58_4_7

Com que coneixem la hipotenusa i el catet oposat, farem servir el sinus.

 

\text{sin}(\alpha)=\frac{\text{catet oposat}}{\text{hipotenusa}}=\frac{9}{14}=0.6428

 

I podem calcular l’angle amb la funció inversa del sinus (arcsin).

\text(\alpha)=\text{arcsin}(0.6428)=40.005^{\circ}

 

Les funcions inverses de les raons trigonomètriques es poden obtenir amb la calculadora, pitjant la tecla [Shift] o [2n Func].  Els seus noms són:

Sinus  -  Arcsinus.

Cosinus  -  Arccosinus.

Tangent  -  Arctangent.

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.