Unitat 43

Raons trigonomètriques directes

Les raons trigonomètriques directes d’un angle agut són el sinus, el cosinus i la tangent.

Contingut exercicis

Aquestes raons es defineixen així:

Considerem un triangle rectangle, i ens fixem en un dels angles aguts, que anomenarem \alpha .

Des d’aquest angle, un dels catets el trobem enfront, i l’altre és adjacent.   Direm que són el catet oposat i el catet contigu.

MAT_54_4_1

Definim les raons trigonomètriques  de l’angle \alpha com

Sinus      → sin(\alpha)=\frac{\text{catet oposat}}{\text{hipotenusa}}

cosinus  → cos(\alpha)=\frac{\text{catet contigu}}{\text{hipotenusa}}

Tangent → tan(\alpha)=\frac{\text{catet oposat}}{\text{catet contigu}}

 

Cal dir que aquesta definició no depèn del triangle que hem triat, únicament depèn de l’angle α.  Si prenem dos triangles diferents, però que tinguin el mateix angle α, l’altre angle agut també serà igual.

MAT_54_4_3

Com que els angles són iguals:  \alpha, 90º-\alpha i 90º, els dos triangles són semblants, i per tant podem aplicar el teorema de Tales:

Sinus      → sin(\alpha)=\frac{\text{catet oposat}}{\text{hipotenusa}}=\frac{a}{h}=\frac{A}{H}

cosinus  → cos(\alpha)=\frac{\text{catet contigu}}{\text{hipotenusa}}=\frac{b}{h}=\frac{B}{H}

Tangent → tan(\alpha)=\frac{\text{catet oposat}}{\text{catet contigu}}=\frac{a}{b}=\frac{A}{B}

 

Raons trigonomètriques dels angles 30º, 60º i 45º.

Prenem un triangle equilàter de costat 1.  Si el dividim per la meitat obtenim dos triangles rectangles que tenen angles aguts de 30º i 60º.

MAT_54_4_5

L’alçada del triangle fa \sqrt{1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.  Aleshores, les raons trigonomètriques són:

\text{sin }(30^{\circ})=\frac{\text{catet op.}}{\text{hipotenusa}}=\frac{^1/_2}{1}=\frac{1}{2}

\text{cos }(30^{\circ})=\frac{\text{catet cont.}}{\text{hipotenusa}}=\frac{^{\sqrt{3}}/_2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}

\text{tan }(30^{\circ})=\frac{\text{catet op.}}{\text{catet cont.}}=\frac{^1/_2}{^{\sqrt{3}}/_2}=\frac{1\cdot 2}{2\cdot \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}

 

\text{sin }(60^{\circ})=\frac{\text{catet op.}}{\text{hipotenusa}}=\frac{^{\sqrt{3}}/_2}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}

\text{cos }(60^{\circ})=\frac{\text{catet cont.}}{\text{hipotenusa}}=\frac{^1/_2}{1}=\frac{1}{2}

\text{tan }(60^{\circ})=\frac{\text{catet op.}}{\text{catet cont.}}=\frac{^{\sqrt{3}}/_2}{^1/_2}=\frac{\sqrt{3}\cdot 2}{1\cdot 2}=\sqrt{3}

 

Finalment, per obtenir les raons trigonomètriques de 45º, podem prendre un quadrat de costat 1.

La diagonal d’aquest quadrar farà \sqrt{2}.

MAT_25_3_1

 

\text{sin }(45^{\circ})=\frac{\text{catet op.}}{\text{hipotenusa}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

\text{cos }(45^{\circ})=\frac{\text{catet cont.}}{\text{hipotenusa}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

\text{tan }(45^{\circ})=\frac{\text{catet op.}}{\text{catet cont.}}=\frac{1}{1}=1

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.