Unitat 65

Racionalització

Racionalitzar una fracció consisteix a eliminar les arrels que hi hagi al denominador.

Contingut exercicis

 

Si tenim una fracció com aquestes:

\frac{1}{\sqrt{3}}\qquad\quad\qquad\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{5}}\qquad\quad\qquad\frac{3}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}

i hem de fer operacions, no podrem calcular el mínim comú múltiple dels denominadors.  Per això les hem de racionalitzar.

 

1. Si hi ha només una arrel quadrada al denominador.

Multiplicarem el numerador i el denominador per aquesta arrel.

a)   \frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}      Al denominador ja no hi ha cap arrel.

b)   \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}

 

2. Si hi ha només una arrel enèsima al denominador.

Multiplicarem el numerador i el denominador per l’arrel enèsima elevada a    (n-1).

a)   \frac{1}{\sqrt[5]{3}}=\frac{1}{\sqrt[5]{3}}\cdot\frac{\sqrt[5]{3^4}}{\sqrt[5]{3^4}}=\frac{\sqrt[5]{3^4}}{\sqrt[5]{3^5}}=\frac{\sqrt[5]{3^4}}{3}

b)   \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{7}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{7}}\cdot \frac{\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{7^3}}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{49}}{7}

 

3. Si al denominador hi ha una suma o una resta d’arrels.

Multiplicarem el numerador i el denominador pel conjugat.

a)   \frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{3}-5\sqrt{2}}{\sqrt{3^2}-\sqrt{2^2}}=\frac{5\sqrt{3}-5\sqrt{2}}{1}=5\sqrt{3}-5\sqrt{2}

b)   \frac{\sqrt{3}+\sqrt{10}}{2-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{10}}{2-\sqrt{5}}\cdot \frac{2+\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{15}+2\sqrt{10}+\sqrt{50}}{2^2\sqrt{5^2}}=

        =\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{15}+2\sqrt{10}+5\sqrt{2}}{4-5}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{15}+2\sqrt{10}+5\sqrt{2}}{-1}

Observa que multipliquem pel conjugat del denominador, ja que és la manera d’aconseguir una suma per una diferència, que és igual a la diferència dels quadrats:

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.