Unitat 38

Propietats de les raons trigonomètriques

Contingut exercicis

Les raons trigonomètriques d’un angle  \alpha qualsevol verifiquen sempre aquestes igualtats:

I)      \text{sin}^2(\alpha) +\text{cos}^2(\alpha)=1

II)    \text{tan}(\alpha)=\frac{\text{sin}(\alpha)}{\text{cos}(\alpha)}

En efecte:

I)      \text{sin}^2(\alpha) +\text{cos}^2(\alpha)=\left(\frac{\text{catet op.}}{\text{hipotenusa}}\right)^2+\left(\frac{\text{catet cont.}}{\text{hipotenusa}}\right)^2=

      \frac{\text{catet op.}^2}{\text{hipotenusa}^2}+\frac{\text{catet cont.}^2}{\text{hipotenusa}^2}=\frac{\text{catet op.}^2+\text{catet cont.}^2}{\text{hipotenusa}^2}=\frac{\text{hipotenusa}^2}{\text{hipotenusa}^2}=1

 

II)   \text{tan}(\alpha)=\frac{\text{sin}(\alpha)}{\text{cos}(\alpha)}\frac{\frac{\text{catet op.}}{\text{hipotenusa}}}{\frac{\text{catet cont.}}{\text{hipotenusa}}}=\frac{\text{catet oposat}\cdot\text{hipotenusa}}{\text{hipotenusa}\cdot\text{catet contigu}}=\frac{\text{catet op.}}{\text{catet cont.}}=\text{tan}(\alpha)

Amb aquestes dues igualtats, si coneixem una de les raons trigonomètriques, podrem trobar les altres dues.

 

Exemple 1.

Sabent que  \text{cos}(\alpha)=0.5.  Sense trobar l’angle α calcula les altres raons trigonomètriques.

A la primera igualtat,   \text{sin}^2(\alpha)  +  \text{cos}^2(\alpha)=1, podem substituir aquest valor:

\text{sin}^2(\alpha)+(0.5)^2=1\Rightarrow\text{sin}^2(\alpha)+0.25\Rightarrow 1\Rightarrow\text{sin}^2(\alpha) =1-0,25

\text{sin}(\alpha)=\pm\sqrt{0.75}=\pm 0.8660

 

Si l’angle  \alpha  és un angle agut hem de prendre el valor positiu pel sinus.  Si es tracta d’un angle qualsevol (entre 0º i 360º) hem de decidir quin signe prenem.

Finalment, amb la segona igualtat podrem calcular la tangent.

\text{tan}(\alpha)=\frac{\text{sin }(\alpha)}{\text{cos }(\alpha)}=\frac{0.8660}{0.5}=1.7320

 

Exemple 2.

Sabent que \text{tan}(\alpha)=\frac{3}{2} calcula les altres raons trigonomètriques. Podem fer servir les lletres  \text{s = sin}(\alpha)  i  \text{c = cos}(\alpha).  Aleshores:

\text{tan}(\alpha)=\frac{\text{sin }(\alpha)}{\text{cos }(\alpha)}=\frac{\text{s}}{\text{c}}=\frac{3}{2}\Rightarrow\text{s} =\frac{3\text{c}}{2}

I ara fem servir la primera igualtat:

\text{s}^2+\text{c}^2=1\Rightarrow\left(\frac{3\text{c}}{2}\right)^2+\text{c}^2=1\Rightarrow\frac{9\text{c}^2}{4}+\text{c}^2=1\Rightarrow\frac{13\text{c}^2}{4}=1

\Rightarrow\text{c}^2=\frac{4}{13}\Rightarrow\text{c}=\pm\sqrt{\frac{4}{13}}=\pm\frac{2}{\sqrt{13}}=\pm\frac{2\sqrt{13}}{13}

Si l’angle \alpha és un angle agut hem de prendre el valor positiu pel cosinus.  Si es tracta d’un angle qualsevol (entre 0º i 360º) hem de decidir quin signe prenem.

 

Observació.  Les raons trigonomètriques  \text{s = sin}(\alpha)  i  \text{c = cos}(\alpha)  es troben sempre entre -1 i 1.  Això és degut a que la hipotenusa és sempre més gran que els catets.  En canvi la tangent pot prendre qualsevol valor.

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.