Unitat 70

Propietats de les operacions amb potències

Contingut exercicis

 

Recordem que una potència és un producte de factors iguals:

n=\overset{\text{n vegades}}{\overbrace{a\cdot a\cdot a\cdot ... a}}

Si la base de la potència (a) és un nombre negatiu, el resultat de la potència pot ser positiu o negatiu, en funció de si l’exponent és parell o senar.

(-3)^4=(-3)(-3)(-3)(-3)=+81                  exp. parell

(-2)^5=(-2)(-2)(-2)(-2)(-2)=-32           exp. senar

Si la base de la potència és una fracció, podem calcular la potència com:

\left(\frac{2}{5}\right)^3=\frac{2^3}{5^3}=\frac{8}{125}

Per simplificar expressions on intervenen potències podem aplicar les següents propietats:

(1)  Producte.                     a^m\cdot a^n=a^{m+n}

(2)  Quocient.                     \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

(3)  Potència.                      (a^m)^n=a^{m\cdot n}

(4)  Exponent negatiu.      a^{-m}=\frac{1}{a^m}   i per tant  \left(\frac{a}{b}\right)^{-m}=\left(\frac{b}{a}\right)^m

(5)  Exponent zero.            a^0=1

 

Exemples.

a)  6^2\cdot 6^7\cdot 6^{-3}=6^{2+7-3}=6^6

b)  \frac{2^5}{2^2\cdot 2^8}=\frac{2^5}{2^{10}}=2^{5-10}=2^{-5}=\frac{1}{2^5}

c)  (7^3 )^5\cdot (7^2 )^4=7^{15}\cdot 7^8=7^{15+8}=7^{23}

d)  (5^9\cdot 5^4\cdot 5)^0=1

Observa que, en tots aquests càlculs, podríem calcular el valor de cadascuna de les potències. Però aquestes potències generalment prenen valors molt grans.  Imagina, per exemple, que hem de calcular:

5^4\cdot 5^{10}\cdot 5^6=625\cdot 9765625\cdot 15625=95367431640625

Veiem, doncs, que és millor operar amb les potències, quan sigui possible.

5^4\cdot 5^{10}\cdot 5^6=5^{20}

 

A més d’aquestes propietats, referents a producte i quocient de potències que tenen la mateixa base, també podem aplicar:

(1)  a^m\cdot b^m=(a\cdot b)^m

(2)  \frac{a^m}{b^m}=\left(\frac{a}{b}\right )^m

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.