Unitat 69

Potències d'exponent fraccionari

Una potència amb l’exponent fraccionari es pot interpretar com una arrel.
\(a^{^1/_m}=\sqrt[m]{a}\qquad\quad\qquad a^{^n/_m}=\sqrt[m]{a^n}\)

Contingut exercicis

 

Així, per exemple, tenim que:

3^{^1/_2}=\sqrt[2]{3}\qquad\quad\qquad 7^{^1/_5}=\sqrt[5]{7}\qquad\quad\qquad 2^{^4/_7}=\sqrt[7]{2^4}

Aquesta equivalència ens permet simplificar expressions aplicant les propietats de les potències, o les propietats de les arrels.

 

Farem alguns exemples:

 1.   \sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[5]{2}=2^{^1/_3}\cdot 2^{^1/_5}=2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=2^{\frac{8}{15}}=\sqrt[15]{2^8}

2.   \sqrt{3}\cdot 3^{^5/_2}\cdot \sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{5}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+\frac{1}{3}}=3^{\frac{20}{6}}=3^{\frac{10}{3}}=\sqrt[3]{3^{10}}

3.   \frac{\sqrt[4]{a^3}\cdot \sqrt[3]{a^2}}{\sqrt{a}}=\frac{a^{^3/_4}\cdot a^{^2/_3}}{a^{^1/_2}}=a^{\frac{3}{4}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}=a^{\frac{11}{12}}=\sqrt[12]{a^{11}}

4.   \sqrt[5]{\sqrt[3]{\sqrt{6}}}=\left(\left( 6^{^1/_2} \right )^{^1/_3}\right )^{^1/_5}=6^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}}=6^{^1/_{30}}=\sqrt[30]{6}

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.