Unitat 32

Posició relativa de dues rectes

Si tenim dues rectes al pla, podem estudiar en quina posició es troben una respecte de l’altra.

Contingut exercicis

Les dues rectes poden ser:

  • Paral·leles.
  • Secants.
  • Coincidents.
MAT_65_4_1

Per saber la posició relativa hem de resoldre el sistema format per les dues equacions de les rectes r i s.  El més pràctic és tenir les equacions expressades en la forma general o implícita.

 

Exemple 1.  Estudiem les rectes  r: 2x + y-5 = 0   i  s: x -y -2 = 0.

 

\left\{\begin{matrix}2x+y-5 & = & 0\\ & & &\Rightarrow x=y+2\Rightarrow 2(y+2)+y-5=0\\x-y-2& = & 0\end{matrix}\right.

                                            2y+4+y-5=0 \Rightarrow 3y=1\Rightarrow y=\frac{1}{3}

                                                                           x=y+2=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}

 

La solució del sistema és x=\frac{7}{3}  i  y=\frac{1}{3}.

Això vol dir que les dues rectes són secants, i que es tallen al punt (\frac{7}{3}\frac{1}{3})

 

 

Exemple 2.  Considerem les rectes  r:2x-y +3=0   i   s:4x-2y+1=0.

 

\left\{\begin{matrix}2x-y+3 &= &0\\& & & \Rightarrow y=2x+3\Rightarrow 4x-2(2x+3)+1=0\\4x-2y+1& = & 0\end{matrix}\right.

                                                                  4x-4x-6+1=0\Rightarrow -5=0!!!

 

Hem intentat resoldre el sistema i ens han desaparegut les incògnites (la x), i hem arribat a una igualtat que és falsa.  Això vol dir que el sistema no té solució, i per tant, les rectes són paral·leles.

Si resolem el sistema d’equacions, desapareixen totes les incògnites i arribem a una igualtat que és certa, vol dir que el sistema té infinites solucions, i per tant, les rectes són coincidents.

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.