Unitat 48

Permutacions

De vegades ens trobem amb algun problema on se’ns pregunta:  “De quantes maneres podem ...?”  La part de les matemàtiques que s’encarrega de solucionar aquests problemes s’anomena combinatòria.

Contingut exercicis

Un tipus de problemes que podem resoldre amb la combinatòria són els que corresponen a les permutacions.  Veurem un parell d’exemples:

1. Quatre nois, que es diuen Àlvar, Carles, Ignasi i Marc, han de seure en un banc per fer-se una foto de grup. De quantes maneres diferents poden seure?

Del que es tracta és de comptar les diferents ordenacions que podem fer amb els quatre nois

Àlvar, Carles, Ignasi i Marc

Àlvar, Carles, Marc i Ignasi

Àlvar, Ignasi, Carles i Marc

        ...

Mirant les diferents possibilitats que tenim per cada lloc i ho representem amb un diagrama en arbre tenim:

MAT_34_4_1

I per tant el nombre de possibilitats és: 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24.

En general, les permutacions de n elements són: P_n=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot 1

I a aquests nombres els diem factorials: n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot 1

 

2.  Ara resoldrem el mateix problema, però pensant que seuran en al voltant d’una taula rodona, en comptes d’un banc.

En principi comptem les permutacions de 4 elements: P_4=24

Però observem que per cada permutació possible, n’hi ha altres tres que són equivalents:

MAT_34_4_5
Segons això, en aquest cas haurem de dividir el nombre de permutacions entre 4.  Podran seure per tant de 24:4 = 6 maneres diferents.

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.