Unitat 67

Operacions amb radicals

Podem fer càlculs amb radicals sense necessitat de prendre aproximacions amb aquests procediments:

Contingut exercicis

 

1.  Reduir arrels a índex comú.

El producte i el quocient de les arrels es pot agrupar en una única arrel.

\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}\quad\qquad\quad\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}

Però si els índexs són diferents, no es poden agrupar directament.  Caldrà que abans les reduïm al mateix índex.  Fem un exemple:

\sqrt[3]{5}\cdot \sqrt[5]{2}=\sqrt[15]{...}\cdot\sqrt[15]{...}     transformarem les dues arrels en arrels 15.

Com que modifiquem l’índex, haurem de modificar també el radicand:

\sqrt[3]{5}\cdot \sqrt[5]{2}=\sqrt[15]{55}\cdot\sqrt[15]{2^3}=\sqrt[15]{5^5\cdot 2^3}

 

 

2.  Treure factors fora d’una arrel.

Si tenim una arrel que no podem expressar com un nombre enter o racional, podem descompondre en factors primers el radicand, i intentar treure factors fora de l’arrel.

Exemple:

\sqrt{75}=\sqrt{3\cdot 5^2}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{5^2}=5\cdot \sqrt{3}

\sqrt[3]{144}=\sqrt[3]{2^4\cdot 3^2}=\sqrt[3]{2^3}\cdot \sqrt[3]{2\cdot 3^2}=2\cdot \sqrt[3]{2\cdot 3^2}

 

 

3.  Sumes i restes d’arrels.

No hi ha cap propietat de les arrels que ens permeti agrupar una suma o una resta de dues arrels en una única arrel.

Si hem de calcular sumes i restes d’arrels tan sols podem provar de treure factors fora de les arrels.

Exemple:

a)   \sqrt{18}+\sqrt{50}+\sqrt{8}=\sqrt{2\cdot 3^2}+\sqrt{2\cdot 5^2}+\sqrt{2^3}=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}+2\sqrt{2}

Com que totes les arrels són iguals (diem que són arrels semblants) les podem sumar o restar.

3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=6\sqrt{2}

 

b)   \sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{250}+\sqrt[3]{10}=\sqrt[3]{2^4}+\sqrt[3]{5^3\cdot 2}+\sqrt[3]{2\cdot 5}=2\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2\cdot 5}

 

De les tres arrels, tan sols dues són semblants.

2\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2\cdot 5}=7\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{10}

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.