Unitat 15

Inequacions

Una inequació és una desigualtat entre dues expressions algèbriques.  Podem tenir inequacions amb una única incògnita (x) o amb més incògnites.  També podem tenir inequacions de primer grau o de grau superior.

Contingut exercicis

Les desigualtats poden ser:

  • Menor que: <
  • Més gran que:  >
  • Menor o igual que: \leq
  • Més gran o igual que: \geq

 

Són inequacions, per exemple:

3x-2\geq 7\qquad\quad\qquad 3x^2-2x+7\leq 0\qquad\quad\qquad 2x+3y>5

La solució d’una inequació, a diferència de les equacions, no és un únic valor. En general les inequacions tenen per solució un interval, un “tros” de la recta real.

De moment podem començar per comprovar si un nombre és solució o no d’una inequació.

 

Exemple 1.

Amb la inequació 3x-2\geq 7 comprovem si els nombres x = 1\:,\: x = 3  i  x = 5 satisfan l’equació:

\begin{matrix}\mathbf{a)} &x =1&\rightarrow &3\cdot 1-2\geq 7&\rightarrow & 3-2\geq 7&\rightarrow& 1\geq 7\: ?& \text{No}\\&\\\mathbf{b)} & x =3&\rightarrow &3\cdot 3-2\geq 7&\rightarrow &9-2\geq 7& \rightarrow& 7\geq 7\: ?& \text{Si}\\&\\ \mathbf{c)} & x=5&\rightarrow &3\cdot 5-2\geq 7&\rightarrow &15-2\geq 7&\rightarrow &13\geq 7?&\text{Si}\end{matrix}

 

Exemple 2.

Considerem la inequació  2x+3y>5.  Comprovem si x =2  i   y=-1  és solució.

2x+3y>5\rightarrow 2\cdot 2+3\cdot (-1)>5\rightarrow 1>5\:?\quad\text{ No}

 

Per poder resoldre les inequacions, cal conèixer aquestes propietats.

1. Si sumem o restem un mateix nombre a una desigualtat, obtenim una desigualtat equivalent.

Sumen, per exemple, 3 a una desigualtat:

2<6\rightarrow 2+3<6+3\rightarrow 5<9

Sumen ara  (-2) a una desigualtat:

7\geq 5\rightarrow 7+(-2 )\geq 5+(-2 )\rightarrow 5\geq 3

 

2. Si multipliquem o dividim una desigualtat per un nombre positiu, obtenim una desigualtat equivalent.

Multipliquem, per exemple, per 5 una desigualtat:

2>-3\rightarrow 2\cdot 5>-3\cdot 5\rightarrow 10>-15

 

3. Si multipliquem o dividim una desigualtat per un nombre negatiu, obtenim la desigualtat contrària.

Multipliquem, per exemple, per -1 una desigualtat:

4\geq 1\rightarrow 4\cdot(-1)\leq 1\cdot (-1)\rightarrow -4\leq -1

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.