Unitat 9

Inequacions de segon grau

En aquest apartat aprendrem a resoldre inequacions del tipus

\(x^2-x-2<0\)         \(x^2>4x-4\)         \((x-1)(x+1)\leq 0\)

Aquestes inequacions de segon grau les resoldrem amb un mètode gràfic.

Contingut exercicis

Exemple 1.    x^2-x-2<0

Per obtenir la solució representarem gràficament la funció y = x^2-x-2.

Farem una taula de valors i representarem la paràbola.

MAT_4_58

MAT_4_58_2

A partir de la gràfica deduïm que el polinomi x^2-x-2 és positiu als intervals  (-\infty\:,\: -1) i (2\:,\: +\infty).  I és negatiu a l’interval (-1\:,\:+2).

Com que volem resoldre la inequació x^2-x-2<0, cal dir a quin interval la paràbola és negativa. És a dir, que la solució és  (-1\:,\: +2 ).

 

Exemple 2.   x^2>4x-4

Per resoldre aquesta inequació primer transposarem els termes per tenir-los tots a un costat de la desigualtat.

x^2>4x-4   →   x^2-4x+4>0

MAT_4_58_3 MAT_4_58_4

En aquest cas la paràbola és positiva als intervals  (-\infty\:,\: +2 )  i  (+2\:,\: +\infty),  i exactament al punt x = 2 la paràbola pren el valor 0.

La solució de la inequació x^2-4x+4 >0  serà  (-\infty\:,\:+2) U (+2\:,\:+\infty).

 

Exemple 3.   (x-1)(x+1)\leq 0

Farem el producte dels dos parèntesis:

(x-1)(x+1)\leq 0\rightarrow x^2+x-x-1\leq 0\rightarrow x^2-1\leq 0

I ara representem la funció y=x^2-1

MAT_4_58_5 MAT_4_58_6

Com que la inequació era (x-1)(x+1)\leq 0, hem de buscar a quin interval la paràbola és negativa.  Això equival a que la gràfica es trobi per sota de l’eix horitzontal. La solució és l’interval [ -1\: ,\: +1 ]. Fem servir claudàtors perquè la desigualtat és “menor o igual que”.

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.