Unitat 28

Equacions exponencials

Contingut exercicis

Les equacions exponencials es caracteritzen per tenir la incògnita x a l’exponent.  Són, per exemple, equacions exponencials:

a)  3^{2x-1} = 272             b)  3^x = \dfrac{1}{\sqrt{27}}            c)  5^{x^{2}-3x}=1

 

Aquestes equacions les podrem resoldre si arribem a tenir dues potències amb la mateixa base als dos costats de la igualtat.

 

Ara resoldrem les tres equacions.

a)  3^{2x-1} = 272. El nombre 27 el podem descompondre en factors primers, i obtenim 3^3.  Aleshores:

3^{2x-1} = 3^3\rightarrow 2x-1=3\rightarrow 2x=4 \rightarrow x=2.

 

b)  3^x=\frac{1}{\sqrt{27}}   Ja sabem que 27 és 3^3, i com que es troba dins d’una arrel quadrada, serà (3^{3})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}. I per últim, com es troba al denominador d’una fracció, podem expressar-ho com:

3^x = \dfrac{1}{\sqrt{27}} = 3^{\frac{-3}{2}}\rightarrow x =\dfrac{-3}{2}.

 

c) 5^{x^{2}-3x}=1. En aquest cas el nombre 1 el podem escriure com qualsevol potència de base zero.  A nosaltres ens interessa fer servir la base 5.

5^{x^2-3x}=1= 5^0\rightarrow x^2-3x=0\rightarrow x(x-3)=0\rightarrow x=0  i  x=3.

 

Altres equacions exponencials, en canvi, no es podran resoldre amb aquest mètode, ja que podrem obtenir mai dues potències amb la mateixa base.

2^x=5             Ja que 5 no és cap potència de 2.

Quan ens trobem en aquesta situació cal fer ús dels logaritmes.  Recordem que es defineixen com:

log_{a}(x)=b       si         a^b=x.

Això vol dir que el logaritme en base a de x  és el nombre al qual cal elevar a per a obtenir  b.

 

Per exemple: log_{2}(16)=4,  ja que 2^4 = 16.

I els logaritmes verifiquen aquesta propietat:  log_{a}(x^{n}) = n \cdot log_{a}(x).

 

Si volem resoldre l’equació 2^x = 5, podem prendre logaritmes als dos membres de l’equació. I podem fer servir el logaritme en qualsevol base, per exemple logaritme en base 10 (és el que tenim a la calculadora amb la tecla log).

2^x = 5 \rightarrow log(2^x) = log(5) \rightarrow x \cdot log(2) = log(5) \rightarrow x \cdot 0'3010=0'6989 \rightarrow x =\dfrac{0'6989}{0'3010} = 2'3219

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.