Unitat 68

Els nombres radicals

Els nombres radicals o arrels són nombres del tipus \(\sqrt[n]{a}\)  (arrel enèsima d’a). 

Contingut exercicis

 

Quan parlem d’una arrel quadrada no cal escriure l’índex:

\sqrt{a} és el nombre b que verifica b^2=a.

Observem que si b és una arrel quadrada d’a, -b també ho és.

\sqrt{a}=\pm\quad\text{si}\quad b^2=a

En general, \sqrt[n]{a}=b\quad\text{si}\quad b^n=a

 

Exemples:

\sqrt{9}=\pm 3\qquad\quad\qquad\sqrt{49}=\pm 7\qquad\quad\qquad\sqrt[3]{27}= 3\qquad\quad\qquad\sqrt[5]{32}=2

Quan el radicand és positiu, podrem calcular sempre l’arrel enèsima.

Quan el radicand és negatiu, només es pot calcular l’arrel si l’índex és senar.

\sqrt[3]{-125}=-5\qquad\quad\qquad\sqrt[4]{-16}\text{ no existeix}\qquad\quad\qquad\sqrt{-1}\text{ no existeix}

 

Algunes arrels es poden calcular de forma exacta, i el seu valor és un enter o un racional.  En canvi hi ha arrels que no es poden calcular de forma exacta, ja que són nombres irracionals (tenen infinites xifres decimals, sense cap període).

Exemples:

a)   \sqrt{5}=2,2360679...   és un irracional.

b)   \sqrt{25}\pm 5  és un nombre enter.

c)   \sqrt{\frac{9}{25}}=\pm\frac{3}{5}

 

Quan tenim nombres radicals que són irracionals, o bé prenem aproximacions, o bé treballarem directament amb les arrels.  Per fer-ho necessitem les propietats de les arrels.

Propietats:

1)   \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}

2)   \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}

3)   \sqrt[n]{a^n}=a

4)   \left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}

5)   \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}

 

Exemples:

1)    \sqrt{3}\cdot\sqrt{7}=\sqrt{21}

2)    \frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{5}

3)    \sqrt[7]{4^7}=4

4)    \left(\sqrt[3]{9}\right )^2=\sqrt[3]{9^2}

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.