Unitat 63

Els nombres irracionals

Els nombres irracionals són nombres que no es poden expressar en forma de fracció.  L’expressió decimal dels nombres irracionals té infinites xifres, i no hi ha cap període.

Contingut exercicis

 

Alguns nombres irracionals coneguts són:  \sqrt{2},\sqrt{3}, \pi, ...

Veurem ara una demostració del fet que \sqrt{2}  és irracional:

Suposarem que \sqrt{2} és un nombre racional.  Això vol dir que el podem escriure com \sqrt{2}=\frac{a}{b}, amb a i b dos nombres enters que no tinguin factors en comú.  Si tinguessin factors en comú es podria simplificar la fracció.

\sqrt{2}=\frac{a}{b}\Rightarrow b\sqrt{2}=a\Rightarrow (b\sqrt{2})^2\Rightarrow a^2\Rightarrow b^2\cdot 2\Rightarrow a^2

Com que l’expressió de l’esquerra és múltiple de 2, l’expressió de la dreta també ho ha de ser.  Però en ser un quadrat, si és múltiple de 2, per força ha de ser un múltiple de 4.

Si a^2 és múltiple de 4,  b^2\cdot 2 ha de ser un múltiple de 4, i per tant b^2  és múltiple de 2.  I si  b^2 és múltiple de 2, b ha de ser múltiple de 2.

El que hem vist és que a i b han de ser múltiples de 2, però hem suposat que la fracció \frac{a}{b}   no es podia simplificar ( a i b no tenen factors en comú).  Hem arribat a una contradicció.  I per tant, el que he suposat no pot ser veritat.

             \sqrt{2} no es pot expressar en forma de fracció.

En general, tots els nombres del tipus \sqrt{p}  amb p un nombre primer, són irracionals:

\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{5}...

També són irracionals:

El nombre pi:  \pi = 3,14159265....

El nombre d’or: \Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,618033...

El nombre e:  e = 2,7182818....

Una vegada sabem quins són els nombres racionals i els nombres irracionals, definim el conjunt dels nombres reals com la unió d’aquests dos conjunts:

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.