Unitat 33

Diferents expressions de l'equació de la recta

Si volem escriure les equacions d’una recta, la informació que necessitem és un punt de la recta i un vector que ens indiqui la direcció de la recta (vector director).

Contingut exercicis

En aquest exemple podem prendre com a punt A ( 2 , 1) i vector director v = ( 1 ,2 ).MAT_63_4_1

 

Tots els punts de la recta es poden obtenir sumant al punt A un múltiple del vector v.

 

Per tant podem escriure l’equació (x,y) = (2,1) + k \cdot (1,2) .  Aquesta equació s’anomena equació vectorial, i en general s’escriu com:

I)   (x,y)=(a,b)+k(v_1,v_2)

 

També podem escriure aquesta equació separant les dues coordenades.  Aquesta equació s’anomena paramètrica.

II)   \left\{\begin{matrix}x=a+k\cdot v_1 &\\ y=b+k\cdot v_2&\end{matrix}\right.

 

Si aïllem el valor k de les dues expressions anteriors obtenim:

III)   \left\{\begin{matrix}K=\frac{x-a}{v_1}& \\& \Rightarrow\frac{x-a}{v_1}=\frac{y-b}{v_2}\\ K=\frac{y-b}{v_2} & \end{matrix}\right.

 

Aquesta darrera equació s’anomena continua.

Una vegada tenim l’equació continua, podem fer els productes creuats, i transposar tots els termes a un costat de l’equació.  Arribarem aleshores a una expressió del tipus Ax + By+ C = 0.  Aquesta s’anomena equació general o implícita.

 

Exemple.

Les equacions de la recta que passa pel punt ( -2 , 3 ) i té vector director ( 3 , 1 ) són:

I)   (x,y)=(-2,3)+k(3,1)                Equació vectorial.

II)   \left\{\begin{matrix}x &= &-2&+&3k \\ y &=&\: 3&+&k \end{matrix}\right.               Equació paramètrica.

III)   \frac{x+2}{3}=\frac{y-3}{1}                                       Equació continua.

 

Si fem el producte en creu: 1\cdot(x + 2) = 3\cdot(y-3)\Rightarrow x+2=3y-9

IV)   x-3y+11=0                               Equació general.

 

A més d’aquestes equacions, si coneixem un punt ( a , b ) i el pendent m de la recta, podem escriure l’equació punt-pendent.

V)   y-b=m\cdot(x-a)

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.