Unitat 14

Desigualtats i intervals

Si representem sobre la recta real tots els nombres que satisfan una desigualtat que contingui la incògnita x obtenim un interval.

Contingut exercicis

Exemple 1.   x\leq 5

Aquesta desigualtat la satisfan nombres com  0,\: 3,\:-10,\:-45,\:5, ...

És obvi que no podem escriure tots els nombres que satisfan la desigualtat, ja que són infinits. Farem servir un sistema per poder representar tots els nombres que verifiquen aquesta condició:

MAT_84_4_7

 

x\leq 5

 

 

 

La solució s’acostuma a escriure mitjançant un interval:  (-\infty,\: 5]

 

Exemple 2.  x>0

Aquesta desigualtat la satisfan tots els nombres positius:  1,\: 2,\: 5,\: ^1/_2,\: 0.04, ... però no el zero.  Podem representar tots aquests nombres sobre la recta real.

En aquest cas l’interval s’escriuMAT_84_4_8

(0,\:+\infty).

Com que el valor  x=0 no forma part de la solució, dibuixem un punt buit sobre aquest valor, i l’interval s’escriu amb un parèntesi.

 

 

Exemple 3.   x\geq -1  té com a representació gràfica

MAT_84_4_9

I l’interval s’escriu  [-1,\:+\infty).  En aquest cas, com que el valor  x = -1 sí que forma part de la solució, l’interval s’escriu amb un claudàtor, i a la representació gràfica posem un punt ple.

Aquest tipus d’interval són semirectes.  Representen tots els punts de la recta que hi ha a l’esquerra o a la dreta d’un valor.

Hi ha un altre tipus d’intervals que representen els punts d’un segment, els valors compresos entre dos nombres.

 

Vegem uns quants exemples:

I)    2 < x < 6

Aquestes dues desigualtats es verifiquen per tots els nombres que hi ha entre 2  i  6.

L’interval s’escriu  ( 2\: ,\: 6).  Diem que és un interval obert.

 

II)    -1\leq x\leq 3

Aquestes dues desigualtats es verifiquen per tots els nombres que hi ha entre -1  i  3, i aquests dos valors també formen part de la solució.

L’interval s’escriu  [ -1\: ,\: 3].  Diem que es tracta d’un interval tancat, i fem servir claudàtors en comptes de parèntesis.

 

III)  1 \leq x< 5

Ara representarem els nombres compresos entre 1  i  5.  El valor x=1 forma part de l’interval, però el valor x=5  no.

L’interval s’escriu [1\:,\:5).  Diem que es tracta d’un interval semiobert o semitancat.

MAT_84_4_10
 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.