Unitat 47

Combinacions

De vegades ens trobem amb algun problema on se’ns pregunta:  “De quantes maneres podem ...?”  La part de les matemàtiques que s’encarrega de solucionar aquests problemes s’anomena combinatòria.

Contingut exercicis

Un tipus de problemes que podem resoldre amb la combinatòria són els que corresponen a les combinacions.  Veurem un parell d’exemples:

 

1. En un grup hi ha 26 alumnes, i volem triar tres per formar un equip representant al consell d’estudiants. De quantes maneres diferents podríem formar aquest equip?

A diferència de les variacions i les permutacions, quan volem formar combinacions no importa l’ordre.  És el mateix equip el que està format pels alumnes 1-2-3 que els equips 2-1-3, 2-3-1, 3-1-2, ...

El nombre de combinacions de 26 elements agafats de tres en tres és:

C_{26,3}=\frac{26!}{3!\cdot (26-3)!}

I per poder calcular aquests nombres expressarem els nombres factorials i simplificarem tots els termes que puguem.

C_{26,3}=\frac{26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot ...\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot ...\cdot 1}=\frac{26\cdot 25\cdot 24}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{26\cdot 25\cdot 24}{6}=26\cdot 25\cdot 4=2600

 

2. El joc de la primitiva consisteix en marcar sis nombres d’un total de 49. Quantes combinacions possibles hi ha?

Com que cal marcar 6 nombres diferents, sense importar l’ordre, es tracta de combinacions.  Calcularem les combinacions de 49 elements agafats de 6 en 6.

C_{49,6}=\frac{49!}{6!\cdot 43!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 43!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=13983816

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.