Unitat 55

Càlcul de probabilitats de successos compostos

Contingut exercicis

Dos esdeveniments A i B són dependents si el fet que s’hagi produït l’esdeveniment B condiciona la probabilitat de l’esdeveniment A.  En el cas contrari direm que A i B són independents.

Exemples:

Imagina que tenim una urna amb 3 boles vermelles i 2 boles blaves.  Anem agafant boles i mirem de quin color són.

Si després d’agafar una bola i mirar el seu color la tornem a introduir a l' urna, aquests esdeveniments són independents:

A = que la primera bola sigui vermella.

B = que la segona bola sigui blava.

I les probabilitats són:

P(A)=\dfrac{3}{5}\qquad\quad\qquad P(B)=\dfrac{2}{5}

En canvi, si després de treure una bola i mirar el seu color no la tornem a introduir, els esdeveniments A i B són dependents.

MAT_32_4_2

Aquesta probabilitat es diu condicionada.

 

Si dos esdeveniments A i B són independents, la probabilitat de la intersecció (és a dir, que succeeixin tots dos esdeveniments) és el producte de les probabilitats:

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

En canvi, si els esdeveniments són dependents, la probabilitat de la intersecció és:

P(A\cap B)=P(A/B)\cdot P(B)

Exemple: 

A l’experiment d’agafar cartes d’una baralla de cartes espanyoles sense reposició, considerem els experiments:

A = que la primera carta sigui un as.

B = que la segona carta sigui un as.

La probabilitat de treure dos asos seria:

P(2 asos) = P(la primera és un as)·P(la segona és un as /sabent que la primera ha estat un as)

I pet tant, P(\text{2 asos}) = P(A)\cdot P(B / A)=\dfrac{4}{48}\cdot \dfrac{3}{47}=\dfrac{12}{2256}=\dfrac{1}{188}

 

Taules de contingència.

Per resoldre alguns problemes complexos de probabilitats podem fer servir aquestes taules per mostrar la informació amb que comptem.

Veurem un exemple.  En un grup d’alumnes hi ha nois i noies, i comptem quants dretans i quants esquerrans hi ha:

Dretans Esquerrans Total:
Nois 43 9 52
Noies 44 4 48
Total: 87 13 100

 

Imaginem ara que triem a l’atzar una persona d’aquest grup.  Podem calcular les probabilitats de:

A = que sigui esquerrà  →  P(A)=13/100

B=  que sigui esquerrà, sabent que és una noia → P(B)=4/48

C=  que sigui noia, sabent que és dretana → P(C)=44/87

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.