Unitat 62

Càlcul de nombres irracionals

Els nombres irracionals són nombres que tenen infinites xifres decimals i que no tenen cap període.

Contingut exercicis

 

Si hem de fer càlculs amb un nombre irracional, com per exemple:

\sqrt{2}=1,414213...

no és gens pràctic, ni necessari, fer les operacions amb moltes xifres decimals.

Hem de decidir el nombre de xifres decimals que farem servir. Això dependrà del grau d’exactitud que vulguem obtenir amb els càlculs, i de la procedència de les dades.

Si estem treballant amb les mides d’unes fustes per construir una taula, o uns prestatges, i els valors es mesuren en metres, no té cap sentit treballar amb més de 3 o 4 xifres decimals. Difícilment podrem fer mesures inferiors al mil·límetre.

Si els valors, en canvi, es mesuren en centímetres, amb 1 o 2 xifres decimals en tindrem prou.

Recordem ara que a l’hora de quedar-nos amb unes quantes xifres decimals, podem triar entre:

  • Truncament
  • Arrodoniment

 

El nombre \sqrt{2}=1,414213...  aproximat a dues xifres decimals seria:

  • Truncament = 1,41
  • Arrodoniment = 1,41

 

En canvi, si volem aproximar el nombre \sqrt{5}=2,23606... amb només dues xifres decimals:

  • Truncament = 2,23
  • Arrodoniment = 2,24

 

Cada vegada que fem una aproximació ens estem oblidant d’unes quantes xifres decimals (de vegades, infinites).  Això vol dir que estem cometent un error.

Es defineix l’error absolut com:

\text{Error absolut}=E_a=\begin{vmatrix}\text{valor exacte - valor aproximat}\end{vmatrix}

A l’exemple d’aproximar \sqrt{2} per 1’41, l’error absolut seria:

E_a=\begin{vmatrix}\sqrt{2}-1,41\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1,414213...-1,41\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0,004213...\end{vmatrix}

Habitualment fem servir una fita d’aquest error.  Podríem prendre com a fita d’aquest error absolut el valor 0’005.

Cal observar que no és el mateix cometre un error d’una centèsima en mesurar una distància d’un centímetre, que en mesurar l’alçada d’un edifici que fa 30 metres.  Per aquest motiu, a més de l’error absolut, s’acostuma a calcular l’error relatiu:

E_r=\frac{E_a}{\text{valor exacte}}

Com que de vegades, el valor exacte no el coneixem, podem calcular aquest error com:

E_r=\frac{E_a}{\text{valor aproximat}}

A l’exemple d’aproximació de \sqrt{2}, l’error relatiu seria:

E_r=\frac{0,004213...}{\sqrt{2}}=\frac{0,004213...}{\sqrt{0,41}}=0,0102...

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.