Unitat 21

Suma, resta i producte de polinomis

Contingut exercicis
  1. Suma de polinomis.

Per sumar dos polinomis P(x) i Q(x) agruparem els termes que siguin semblants.  Vegem uns quants exemples:

a)   (3x^2+5x-7)+(x^2+9x+3 )=4x^2+14x-4

 

b)  (x^3+4x+12)+(2x^2-5x+3)= x^3+2x^2-x+15

En aquest cas tan sols hem hagut d’agrupar els termes de grau 1 i els termes independents.

4x+(-5x)=-1x= -x           i          +12 + 3 = + 15

 

c)   \left ( 7x^2 -\frac{2}{5}x + \frac{1}{3} \right ) + \left ( x^2 + 4x -\frac{3}{2} \right ) =

Els termes de grau 2 són:     7x^2+x^2=8x^2

Els termes de grau 1 són: -\frac{2}{5} + 1 = \frac{2}{5} + \frac{5}{5} = \frac{3}{5}

Els termes independents són: \frac{1}{3} + \left ( -\frac{3}{2} \right ) = \frac{2}{6}-\frac{9}{6} = -\frac{7}{6}

Aleshores,  \left ( 7x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{1}{3} \right ) + \left ( x^2 + 4x - \frac{3}{2} \right ) = 8x^2 + \frac{3}{5}x - \frac{7}{6}

 

  1. Resta de polinomis.

Per fer una resta de polinomis del tipus  P(x) – Q(x) podem sumar al polinomi P(x) l’oposat del polinomi Q(x).  Això vol dir que hem de canviar de signe tots els termes del polinomi Q(x) i després farem la suma.

 

Exemples:

a) (3x^2+8x-4)-(2x^2-3x+5)=(3x^2+8x-4)+(-2x^2+3x-5)=

En aquest primer pas únicament hem canviat els signes del polinomi que resta.  Ara podem fer la suma d’aquests polinomis.

=1x^2+11x-9

 

b) (x^3+x^2-3x+2 )-( 2x^2-3x+9 )=(x^3+x^2-3x+2 )+(-2x^2+3x-9)=

Ara agrupem els termes:

  • Termes de grau 3.               x^3
  • Termes de grau 2.               x^2+ (-2x^2)=-1x^2
  • Termes de grau 1.               -3x+3x=0x=0
  • Termes independents.       +2+(-9)=-7

El resultat d’aquesta resta és: x^3-x^2+0x-7= x^3-x^2-7

 

  1. Producte d’un polinomi per un monomi.

Per multiplicar, per exemple, (x^3+4x^2-3x+7)\cdot (2x^2)   hem de multiplicar el monomi per cadascun dels termes del polinomi.  Per fer aquestes multiplicacions farem el producte dels dos coeficients i de les parts literals:

 x^3\cdot (2x^2 )=2x^5

4x^2\cdot 2x^2=8x^4

(-3x)\cdot 2x^2=-6x^3

Ja que quan multipliquem dues potències de base x, tan sols hem de sumar els exponents. El producte serà, per tant:

(x^3+4x^2-3x+7)\cdot (2x^2 )=2x^5+8x^4-6x^3+14x^2

 

  1. Producte de polinomis.

Si hem de multiplicar dos polinomis, cal fer el producte de tots els monomis d’un dels polinomis amb tots els monomis de l’altre polinomi.

(4x^2+3x-2)\cdot (x+5)=4x^2\cdot x+3x\cdot x-2\cdot x+4x^2\cdot 5+3x\cdot 5-2\cdot 5=

4x^3+3x^2-2x+20x^2+15x-10=4x^3+23x^2+13x-10

 

Fem ara un altre exemple:

(3x^2-2x-1)\cdot (x+7)=3x^2\cdot x-2x\cdot x-1\cdot x+3x^2\cdot 7-2x\cdot 7-1\cdot 7=

3x^3-2x^2-x+21x^2-14x-7=3x^3+19x^2-15x-7

 

Aquestes mateixes multiplicacions de polinomis les podem fer d’una altra manera, que ocupa més espai, però on es veu molt més clar com es van fent les operacions:

MAT_3_44_1

Fent aquest mètode, anem multiplicant cada terme d’un polinomi amb els termes de l’altre, i els anem situant de forma que en acabar resulti molt fàcil fer la suma.

MAT_3_44_2

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.