Unitat 50

Successos compostos i diagrames d'arbre

Un experiment és compost si consta de dos o més experiments simples.  Llençar un dau, per exemple, és un experiment simple.  En canvi llençar un dau fins que surti un 5 és un experiment compost.

Contingut exercicis

Per poder estudiar experiments compostos, cal conèixer les següents definicions.

 

  1. Esdeveniments compatibles i incompatibles.

 

Dos esdeveniments A i B són incompatibles si no poden passar tots dos a l’hora, i en aquest cas la intersecció A\cap B no té cap element.  Diem que la intersecció és el conjunt buit, i la seva probabilitat és zero.

A\cap B=\varnothing     i   P (A\cap B=0

Si dos esdeveniments no són incompatibles, direm que són compatibles.

Exemples:

A l’experiment de treure una carta a l’atzar d’una baralla de cartes:

A = treure un 5

B = treure un rei                                                                         Són incompatibles.

A l’experiment de llençar un dau de sis cares:

A = que surti un nombre senar

B = que surti un 5                                                                        Són compatibles.

 

 

  1. Esdeveniments dependents i independents.

 

Dos esdeveniments són independents si la realització d’un d’ells no condiciona la probabilitat de l’altre.  En cas contrari direm que els esdeveniments són dependents.

Si llencem, per exemple, una moneda dues vegades, els esdeveniments  A={que la primera surti cara} i  B={que la segona surti creu} són independents.

En canvi, si traiem dues cartes d’una baralla, els esdeveniments A={que surti un as a la primera carta} i B={que surti un as a la segona carta} són dependents.  En funció del que hagi sortit a la primera carta, les probabilitats de la segona variaran.

 

 

  1. Probabilitat condicionada.

 

La probabilitat que succeeixi un esdeveniment A sabent que s’ha produït B s’escriu P(A\mid B) .

Per calcular la probabilitat d’un esdeveniment compost farem:

  • Si són independents. P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)
  • Si són dependents. P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)

 

Veurem ara un exemple.

Tenim dues urnes.  Una urna A amb 3 boles blanques i 2 negres.  I una urna B amb 4 boles blanques i 1 negra.  Llencem un dau, i si surt 1 o 2 agafem una bola de l'urna A.  Si surt, en canvi, 3, 4, 5 o 6 agafem una bola de l'urna B.

Quina és la probabilitat de què surti una bola blanca?

La bola blanca pot sortir de l'urna A o de la urna B.  Aleshores calcularem aquesta probabilitat tenint en compte les dues possibilitats.
És a dir,

P(\text{bola blanca})

=P(\text{bola blanca urna A})\cdot P(\text{triar urna A})+P(\text{bola blanca urna B})\cdot P(\text{triar urna B})

És a dir,  P(\text{bola blanca})=\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{6}+\frac{4}{5}\cdot \frac{4}{6}=\frac{6}{30}+\frac{16}{30}=\frac{22}{30}=7,333

 

Per estudiar successos compostos ens pot ser útil representar els possibles resultats amb un diagrama en arbre.

MAT_4_3_3

El primer diagrama correspon al llançament de dues monedes.  El segon gràfic a les possibles banderes que podem dissenyar amb tres franges de colors, sense repetir-ne cap.

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.