Unitat 71

Successions

Una successió és un conjunt de nombres ordenats, de forma que es puguin enumerar: el primer, segon, tercer, ...

Contingut exercicis

Els elements de la successió s'anomenen termes, i els designem habitualment amb subíndexs.

a_n=a_1,a_2,a_3,...

Són successions, per exemple:

  •  1 ,5,9,13,17,21,...
  • 2,6,18,54,...

 

Una successió es pot obtenir perfectament amb termes aleatoris, però nosaltres estudiarem aquelles successions que segueixen algun criteri.  Per exemple:

a) La successió   1 ,5,9,13,17,21,...  comença amb el terme 1, i anem sumant 4.

b) La successió  2,6,18,54,... comença amb el terme 2, i anem multiplicant per 2.

 

TERME GENERAL D'UNA SUCCESSIÓ.

De vegades podem trobar una expressió que serveixi per obtenir tots els termes de la successió, sabent el lloc que ocupa.

Per exemple:   1,5,9,13,17,...

El terme general és  a_n=4n-3 .  Si volem calcular el cinquè terme, tan sols cal substituir la n pel valor 5.

a_5=4\cdot 5-3=20-3=17

Si volem obtenir el terme que ocupa la posició 50 farem:

a_50=4\cdot 50-3=200-3=197

Podrem trobar qualsevol terme fent servir aquesta fórmula, el terme general.

 

ALGUNES SUCCESSIONS IMPORTANTS.

I) Successions de potències.

Són successions del tipus 1^m,2^m,3^m,...

Com per exemple,

La successió dels quadrats:  1,4,9,16, ...

O la successió dels cubs:  1, 8, 27, 64, ...

 

II) Successió de Fibonacci.

Es tracta de la successió  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ....

Els termes d'aquesta successió s'obtenen prenent a_1=1,a_2=1, i a partir del tercer terme cal fer la suma dels dos termes anteriors.

a_n=a_{n-2}+a_{n-1}

Límit d'una successió.

El límit d’una successió consisteix en estudiar el comportament dels seus termes quan n va prenent nombres cada vegada més grans.  Per fer-ho podem representar gràficament els punts del tipus  (n,a_n).

Prenem per exemple la successió  a_n={5_n} / (n+3) .

n 1 2 3 4 5 6 10 100 1000
an 1,25 2 2,5 2,857143 3,125 3,333333 3,846154 4,854369 4,985045
MAT_25_3_6

Si anem calculant termes més llunyans a_{1000},  a_{10.000} , a_{1.000.000}, ... obtenim termes cada cop més propers a 5.  Aquest és el concepte de límit, i ho escriurem així:

\underset{n\rightarrow \infty }{lim}\frac{5n}{n+3}=5

Algunes successions s’aniran acostant cada cop més a un valor concret.  D’altres en canvi aniran prenent valors molt i molt grans.  En aquest cas direm que el límit de la successió és infinit.  D’altres, directament no tindran límit.

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.