Unitat 17

Resolució de problemes amb funcions

Alguns problemes es poden resoldre amb l’estudi d’una funció.  Veurem a continuació un parell d’exemples.

Contingut exercicis

Exemple 1.

Un dipòsit d’aigua conté 200 litres, i en un instant determinat obrim una aixeta que evacua 5 litres cada minut.

a) Quants litres d’aigua hi haurà al dipòsit transcorreguts 5 minuts? I 15 minuts?

b) Quant de temps ha de passar per tal que el dipòsit es buidi?

c) En quin moment hi haurà tan sols 15 litres al dipòsit?

 

Solució:

La funció que descriu els litres d’aigua que hi ha al dipòsit, segons el temps transcorregut és  f(x) = 200 - 5x.  Aleshores:

a)   f(5) = 200 -5\cdot 5 = 175 litres.  I   f(15) = 200 -5\cdot 15 = 125 litres.

b) Volem trobar en quin moment  f(x) = 0, és a dir l’antiimatge de 0.

200-5x=0 \rightarrow 200=5x \rightarrow x= \frac{200}{5}=\text{40 minuts}

c) Hem de trobar l’antiimatge de 15.

200-5x=15\rightarrow 200-15=5x\rightarrow 5x=185\rightarrow x=\frac{185}{5}=\text{37 minuts.}

 

Exemple 2.

Una pàgina web de descàrregues musicals ofereix als clients dues modalitats de subscripció:

Opció A.  Per cada cançó descarregada hem de pagar 0,75 €.

Opció B.  Paguem una quota de subscripció de 3 €, i després paguem 0,50 € per cada cançó.

a) Quant hem de pagar amb cada modalitat si volem descarregar 5 cançons?

b) I si volem descarregar 15 cançons?

c) A partir de quantes cançons ens convindrà més l’opció B?

 

Solució:

a) Amb l’opció A, cinc cançons es cobren a 5 \cdot 0,75 = 3,75 €. I amb l’opció B, cinc cançons ens costaran 3 + 5\cdot 0,5 = 5,5 €.  En aquest cas és més econòmica l’opció A.

b) Amb l’opció A, quinze cançons es cobren a 15 \cdot 0,75 = 11,25 €. I amb l’opció B, quinze cançons ens costaran 3 + 15 \cdot 0,5 = 10,5 €.  En aquest cas és més econòmica l’opció B.

c) Observem que el preu de les descàrregues, segons les cançons que ens descarreguem, és una funció. A cada opció, la funció corresponent és:

Opció A:  f(x) = 0,75\cdot x

Opció B:  f(x) = 3 + 0,5 \cdot x

Representarem ara les dues funcions en un mateix gràfic:

MAT_3_64_1

Observant la gràfica podem afirmar que a partir de 12 cançons és més econòmica l’opció B.

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.