Unitat 5

Resolució de problemes amb equacions de segon grau

Veurem ara com podem resoldre alguns problemes fent servir equacions de segon grau. A partir de l’enunciat hem de deduir quina és la incògnita, el valor que hem de trobar, i poder plantejar l’equació.

Contingut exercicis

Exemple 1. 

La suma dels quadrats de dos nombres naturals consecutius és 313.  De quins nombres es tracta?

Com que es tracta de dos nombres consecutius, els podem escriure com x  i  (x+1).  I de l’enunciat deduïm que

x^2+(x+1)^2=313

Aleshores hem de resoldre aquesta equació.  Per poder fer-ho, primer hem de desenvolupar el quadrat del parèntesi:

x^2+x^2+2x+1=313\rightarrow 2x^2+2x-312=0

I finalment apliquem la fórmula amb els coeficients  a = 2 , b = 2  i  c = -312, o bé, si simplifiquem l’equació dividint-la entre dos  a = 1,  b = 1  i   c = -156.

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot 1\cdot (-156)}}{2\cdot 1}=\frac{-1\pm\sqrt{625}}{2}=\frac{-1\pm25}{2}=\begin{matrix}x_1=\frac{24}{2}=12 & \\ x_2=\frac{-26}{2}=-13& \end{matrix}

Si prenem la primera solució, x = 12, els dos nombres que hem de trobar són 12 i 13.

Si prenem la segona solució, x = -13, els dos nombres que hem de trobar són -13 i -12.

 

Exemple 2.

La diagonal d’un rectangle mesura 10 cm.  Troba les dimensions del rectangle si un costat mesura 2 cm més que l’altre.

MAT_3_54_1

Quan hem de resoldre un problema geomètric és molt convenient fer un dibuix de la figura.  Prenem com a incògnita el costat del rectangle més petit, i d’aquesta manera, l’altre costat el podrem escriure com x + 2.

A l’enunciat ens diuen que la diagonal mesura 10, i gràcies al teorema de Pitàgores aplicat al triangle rectangle que determina la diagonal podem escriure:

x^2+(x+2)^2=10^2

Aquesta és l’equació que hem de resoldre, i per fer-ho, primer desenvoluparem el quadrat del parèntesi:

x^2+x^2+4x+4=100\rightarrow 2x^2+4x-96=0\rightarrow x^2+2x-48=0

Si apliquem la fórmula de l’equació de segon grau amb els coefficients  a = 1 , b=2  i  c= -48  obtenim:

x_1=6\qquad x_2=-8

Com que la incògnita x representa un costat d’un rectangle, la solució negativa no té sentit.  La solució del problema és que un costat fa 6 cm i l’altre 8 cm.

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.