Unitat 6

Propietats de les solucions d'una equació de segon grau

Contingut exercicis

Resolem, per exemple, l’equació:   x^2-5x+6=0 .

Els coeficients de l’equació són:  a=1 , b=-5  i  c=6.  Aleshores:

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm1}{2}=\left\{\begin{matrix}\frac{5+1}{2}=3 &\\\frac{5-1}{2}=2 &\end{matrix}\right.

Les dues solucions que obtenim són  x=3  i   x=2.  Observem que la suma i el producte de les arrels és:

  • Suma:  3+2=5.
  • Producte: 3\cdot 2=6.

La suma de les solucions coincideix amb el coeficient de les x ( la b ), però amb el signe contrari.

El producte de les dues solucions coincideix amb el terme independent  ( la c ).

Quan el coeficient de la x^2  sigui 1, la suma i el producte de les dues solucions serà:

x_1+x_2=-b\qquad\quad x_1\cdot x_2=c

 

Farem ara un altre exemple:  2x^2+x-3=0

En aquest cas els coeficients de l’equació són:  a=2 , b=1  i  c=-3.

x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 2\cdot (-3)}}{2\cdot 2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{4}=\frac{-1\pm5}{4}\left\{\begin{matrix}\frac{4}{4}=1 & \\\frac{-6}{4}=\frac{-3}{2}& \end{matrix}\right.

Farem ara la suma i el producte de les dues solucions:

  • Suma: 1+\frac{-3}{2}=\frac{2}{2}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}
  • Producte: 1\cdot \frac{-3}{2}=\frac{-3}{2}

El resultat general pel que fa a la suma i el producte de les dues solucions de l’equació és:

x_1+x_2=\frac{-b}{a}\qquad\quad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.