Unitat 51

Propietats de la probabilitat

A l’hora d’estudiar un experiment aleatori, els diferents esdeveniments i la seva probabilitat verifiquen aquestes propietats.

Contingut exercicis

1.  Esdeveniment oposat.

Prenem, per exemple, l’esdeveniment A= que surti un as.  L’esdeveniment contrari seria  A^c= que no surti un as.

La probabilitat de l’esdeveniment contrari és:

P(A^c)=1-P(A)

En efecte:  P(\text{que no surti un as})=\frac{44}{48}    i  P (\text{que surti un as})=\frac{4}{48} .

\frac{44}{48}=1-\frac{4}{48}=\frac{48}{48}-\frac{4}{48}

 

2.  Unió i intersecció d’esdeveniments.

Imaginem ara que tenim els esdeveniments  A= que surti un rei  i  B= que surti una copa.

La unió dels dos esdeveniments, que s’escriu A\cup B, és l’esdeveniment format per tots els resultats de l’esdeveniment A i tots els resultats de B.  En el nostre cas:

A\cup B={rei d'oros, rei de copes, rei d'espasses, rei de bastons}  \cup  {as de copes, 2 de copes, 3 de copes,… rei de copes}

Observa que en aquest exemple hem escrit els 4 reis i les 12 copes, però hi ha una carta (el rei de copes) que l’hem escrit dos cops.

A\cup B={rei d'oros, rei de copes, rei d'espasses, rei de bastons, as de copes, 2 de copes, 3 de copes,… cavall de copes}

El nombre d’elements d’aquest conjunt és 4 +12-1=15.

La intersecció dels dos esdeveniments, que escrivim com A\cap B correspon als esdeveniments que pertanyen a A i a B a la vegada.

A l’exemple anterior, la intersecció serà:

A\cap B={rei de copes}

 

Tan sols hi ha un element, ja que únicament hi ha una carta que sigui un rei i una copa a la vegada.

La probabilitat d’una unió d’esdeveniments es pot calcular així:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

 

Exemple:  En una urna tenim 10 boles numerades de l’1 al 10 i agafem una bola a l’atzar.  Considerem els esdeveniments  A = que surti un nombre parell  i  B = que surti un múltiple de 3.  Quina és la probabilitat de que surti un nombre parell o múltiple de tres?

MAT_3_3_7

 

Els esdeveniments de l’enunciat es poden escriure com:

A = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 }                         B = { 3 , 6 , 9 }

 

i la probabilitat de la unió serà: P(A\cup B)=P(A)+P(B)-(A\cap B)

P(A\cup B)=\frac{5}{10}+\frac{3}{10}-\frac{1}{10}=\frac{7}{10}

 

En efecte, la unió té 5 + 3 – 1 elements.  Hem de restar un element, que és la intersecció dels dos esdeveniments, el nombre 6.

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.