Unitat 69

Progressions geomètriques

Una progressió geomètrica és una successió en la qual els termes es van obtenint multiplicant per un mateix nombre

Contingut exercicis

Són progressions geomètriques, per exemple:

3 , 6 , 12 , 24 , 48 , ...

1 , 4 , 16 , 64 , 256 , ...

-5 , 5 , -5 , 5 , -5, ...

Per poder treballar amb progressions geomètriques, la informació que necessitem és el primer terme ( terme inicial a1 ) i el nombre pel qual anem multiplicant ( raó, r).

a_n=a_1\cdot r^{n-1}

Si coneixem el terme inicial i la raó, el terme general d’aquestes successions es pot escriure amb aquesta fórmula:

a_n=a_1\cdot r^{n-1}=3\cdot 2^{n-1}

Fem alguns exemples:

1)  La progressió  3 , 6 , 12 , 24 , 48 , ... té terme inicial 3, i raó 2.

a_n=a_1\cdot r^{n-1}=3\cdot 2^{n-1}

Observa que amb el terme general podem calcular qualsevol terme:

  • El cinquè terme,   a_5=3\cdot 2^4=48
  • El terme 10,   a_{10}=3\cdot 2^9=1536

 

2)  La progressió  1 , 4 , 16 , 64 , 256 , ... té terme inicial 1, i diferència 4.

a_n=a_1\cdot r^{n-1}=1\cdot 4^{n-1}=4^{n-1}

 

Suma dels termes d’una progressió geomètrica.

De vegades ens pot interessar calcular la suma d’uns quants termes d’una progressió geomètrica.  Això ho podrem fer amb la fórmula.

S_n=\frac{a_1 (r^n-1)}{r-1}

Fem un exemple:  Per calcular  1+3+9+27+81.

El primer terme és 1.  La raó és 3, i el nombre de termes és 5.

S_5=\frac{1(3^5-1)}{3-1}=\frac{242}{2}=121

 

Observació.  Si tenim una progressió geomètrica amb la raó entre 0 i 1, els termes es van fent cada cop més petits:

1, 0.5, 0.25, 0.125, ...

Amb aquest tipus de progressió podem sumar tots els termes, els infinits termes:

S_\infty=\frac{a_1(r^\infty-1)}{r-1}=\frac{a_1(0-1)}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}

S_\infty=\frac{1}{1-0,5}=\frac{1}{0.5}=2

També es pot calcular el producte dels n primers termes d’una progressió geomètrica:

P_n=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^n}

Per exemple:  1\cdot 3\cdot 9\cdot 27\cdot 81=\sqrt{(1\cdot 81)^5}=59049

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.