Unitat 70

Progressions aritmètiques

Una progressió aritmètica és una successió en la qual els termes es van obtenint sumant un mateix nombre.

Contingut exercicis

Són progressions aritmètiques, per exemple:

3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , ...

1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ...

-5 , 0 , 5 , 10 , 15 , ...

Per poder treballar amb progressions aritmètiques, la informació que necessitem és el primer terme ( terme inicial a1 ) i la quantitat que anem sumant (diferència d).

Si coneixem el terme inicial i la diferència, el terme general d’aquestes successions es pot escriure amb aquesta fórmula:

a_n=a_1+(n-1)\cdot d

Fem alguns exemples:

1)  La progressió  3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , ...  té terme inicial 3, i diferència 2.

a_n=a_1+(n-1)\cdot d=3+(n-1)\cdot 2=3+2n-2=2n+1

Observa que amb el terme general podem calcular qualsevol terme:

  • El cinquè terme, a_5=2\cdot 5+1=11
  • El terme 10, a_{10}=2\cdot 10+1=21
  • El terme 100,  a_{100}=2\cdot 100+1=201

 

2)  La progressió  25, 21, 17, 13, ... té terme inicial 25, i diferència (-4).

a_n=a_1+(n-1)\cdot d=25+(n-1)\cdot (-4)=25-4n+4=-4n+29

 

Suma dels termes d’una progressió aritmètica.

De vegades ens pot interessar calcular la suma d’uns quants termes d’una progressió aritmètica.  Això ho podrem fer amb la fórmula.

S_n=\frac{(a_1+a_n )\cdot n}{2}

 

Fem un exemple:  Per calcular  1+4+7+10+...+46.

El primer terme és 1.  El darrer terme és 46.  Ara necessitem saber quants termes estem sumant.

En comptes d’escriure’ls tots per saber quina posició ocupa el nombre 46, amb el terme general podem calcular el valor de n.

a_n=a_1+(n-1)\cdot d\rightarrow 46=1+(n-1)\cdot 3

 

Si resolem aquesta equació: 46=1+3n-3\rightarrow 46-1+3=3n\rightarrow 48=3n

I per tant  n=\frac{48}{3}=16

Ara que sabem que el nombre 46 ocupa la posició 16 podem aplicar la fórmula de la suma dels termes:

S_{16}=\frac{(a_1+a_{16})\cdot 16}{2}=\frac{(1+46)\cdot 16}{2}=376

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.