Unitat 60

Relació entre fracció i decimal

Una fracció qualsevol es pot expressar com un nombre decimal.

Contingut exercicis

Tan sols cal que fem la divisió:

Fracció:  \frac{a}{b}                Divisió:   a : b

 

El resultat d’aquesta divisió pot ser un nombre enter o un nombre decimal.

Si el resultat és un nombre decimal, podem trobar-nos amb un nombre decimal exacte o un nombre decimal periòdic.

Els nombres decimals periòdics poden ser purs o mixtos.

Exemples:

I)  \frac{3}{4}\rightarrow 3:4=0,75           hem obtingut un nombre decimal exacte.

II)  \frac{12}{4}\rightarrow 12:4=3           hem obtingut un nombre enter.

III)  \frac{5}{3}\rightarrow 5:3=1,6666...

 

hem obtingut un nombre decimal periòdic.  Com que el període comença tot just després de la coma, diem que és un decimal periòdic pur.

IV)   \frac{19}{18}\rightarrow 19:18=1,05555...

 

Hem obtingut un nombre decimal periòdic mixt.  Això vol dir que el període no comença tot just desprès de la coma decimal.

Ara el que veurem és que si prenem un nombre que sigui enter, decimal exacte, decimal periòdic pur o decimal periòdic mixt, podrem trobar una fracció que genera aquest nombre (enter o decimal).  Aquest procés s’anomena trobar la fracció generatriu.

  • Cas I)  Si tenim un nombre enter. 

Tan sols cal escriure aquest nombre en forma de fracció, amb denominador 1.

m=\frac{m}{1},    per exemple:  7=\frac{7}{1}

 

  • Cas II)  Si tenim un nombre decimal exacte.

Comptem les xifres decimals d’aquest nombre.  Per exemple,  2,75 té dues xifres decimals.  Aleshores podem escriure la fracció que té al denominador la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals hi ha.

2,75=\frac{275}{100}

I si cal, simplificarem la fracció.

2,75=\frac{275}{100}=\frac{55}{20}=\frac{11}{4}

 

  • Cas III)  Si tenim un nombre decimal periòdic pur.

Prenem, per exemple, el nombre: 5,\widehat{28}

Anomenarem F a aquest nombre (F=5,\widehat{28}) i multipliquem aquesta igualtat per 100, ja que el període té dues xifres decimals.

100F=528,\widehat{28}

Observa que si ara fem la resta d’aquestes dues igualtats, la part decimal desapareix.  Això és degut a que estem restant una part decimal que és exactament igual.

100F=528,\widehat{28}=528,282828...

\underline{-F=-5,\widehat{28}=-5,282828...}

El resultat és la igualtat  99F = 523.  Aleshores, la fracció generatriu és:

F=\frac{523}{99}

 

  • Cas IV)  Si tenim un nombre decimal periòdic mixt.

Fem, per exemple, la fracció generatriu del nombre F=15,7233333....

Multipliquem per 100, per obtenir un decimal periòdic pur.

100F=1572,\widehat{3}

I ara multipliquem per 10 per treure un període fora de la part decimal

100F=15723,\widehat{3}

Finalment farem la resta d’aquestes dues igualtats.

100F=15.723,\widehat{3}

\underline{-100F=-1.572,\widehat{3}}

 

El resultat d’aquesta resta és la igualtat  900F = 14.151, i per tant, la fracció generatriu és F=\frac{14.151}{900}

 

El que acabem de veure és que el conjunt de les fraccions (els nombres racionals) es pot identificar amb el conjunt de nombres enters, decimals exactes i decimals periòdics.

Ara ens preguntem si hi ha nombres que no siguin racionals, és a dir, que no es puguin escriure com a fracció.  Observa aquests nombres decimals:

3,1011011101111011111....

0,12345678910111213....

 

Es tracta de nombres decimals amb infinites xifres, però que mai tindran cap període.  Per tant no són racionals.  Aquests nombres s’anomenen irracionals.

A més d’aquests nombres, podríem dir que són una mica artificials, tenim com a exemples:

\sqrt{2}\quad\pi\quad\sqrt{3}...

Tots tenen en comú que la seva part decimal té infinites xifres decimals i no hi ha cap període.

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.