Unitat 42

Mesures de dispersió: la desviació típica

Per estudiar una variable estadística no en tenim prou amb calcular els valors centrals (la mitjana, la mediana i la moda). 

Contingut exercicis

A més ens convé conèixer com estan d’agrupades o de disperses les dades al voltant d’aquests valors.  Això s’obtindrà calculant la variància i la desviació típica o estàndard.

Per trobar la variància (σ²) farem la resta de cada valor xi de la variable i la mitjana aritmètica.  Aquestes restes les elevem al quadrat i per últim dividim entre el nombre de dades N.

\sigma^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\text{...}+(x_N-\overline{x})^2}{N}

 

Un cop hem trobat la variància, calculem la desviació estàndard fent l’arrel quadrada.

\sigma=\sqrt{\sigma^2}

 

Calcularem aquests dos paràmetres amb un exemple: 5 notes d’una prova.

Dades:

7   4    6    4    7

Mitjana aritmètica:

\overline{x}=\frac{7+4+6+4+7}{5}=\frac{28}{5}=5,6

Variància:

\sigma^2=\frac{(7-5,6)^2+(4-5,6)^2+(6-5,6)^2+(4-5,6)^2+(7-5,6)^2}{5}=\frac{1,96+2,56+0,16+2,56+1,96}{5}=\frac{9,2}{5}=1,84

Desviació estàndard:

\sigma=\sqrt{84}=1,356

Quan el nombre de dades de la variable estadística és gran, per calcular la variància i la desviació estàndard serà convenient fer aquesta taula:

 

Xi Fi Xi · Fi (Xi - \overline{x}\) (Xi - \overline{x}\)2 Fi · (Xi -  \overline{x}\)2
3 6 18,0000 -2,4285 5,8976 35,3857
4 9 36,0000 -1,4285 2,0406 18,3655
6 12 72,0000 0,5715 0,3266 3,9193
8 8 64,0000 2,5715 6,6126 52,9009
35 190,0000 110,5714

 

a) Amb les tres primeres columnes ( les dades, la seva freqüència absoluta i el producte d’aquests) podem calcular la mitjana aritmètica.

\bar{x}=\frac{190}{35}=5,4285

b) La quarta columna és la resta de les dades Xi i la mitjana 5,4285.

c) La cinquena columna és el quadrat de quarta columna.

d) La darrera columna és el producte de la freqüència absoluta per la cinquena columna.

 

La suma de la sisena columna és 110,5714.  Aleshores:

Variància:                \sigma^2=\frac{110,5714}{35}=3,1591

Desv. estàndard:    \sigma^2=\sqrt{3,1591}=1,7774

 

En comptes de fer aquesta taula, podem també trobar la variància i la desviació estàndard amb aquestes fórmules:

\sigma^2=\frac{\sum F_i\cdot (x_1-\overline{x})^2}{N}=\frac{\sum F_i\cdot x_i\,^2}{N}-\overline{x}^2

\sigma=\sqrt{\frac{\sum F_i\cdot x_i\,^2}{v}-\overline{x}^2}

 

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.