Unitat 44

Mesures de centralització

Quan volem estudiar una variable estadística quantitativa ens interessa trobar els valors que representen la totalitat de les dades. 
Els paràmetres de centralització ens informen del valor que ocupa la posició central, i al voltant d’aquest nombre es troben la resta de dades. 
Aprendrem a calcular la mitjana aritmètica, la mediana i la moda.

Contingut exercicis
  1. Mitjana aritmètica.

Es calcula fent la suma de tots els valors de la variable, i dividint el resultat entre el nombre de dades.

\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\text{...}+x_N}{N}

 

  1. Mediana.

És el valor que ocupa la posició central, quan hem ordenat totes les dades de menor a major.  Si el nombre de dades de la variable estadística és senar, hi haurà un valor que ocupa aquesta posició central.  En canvi, si el nombre de dades és parell, hi haurà dos valors que ocupen les posicions centrals.  Aleshores farem la mitjana aritmètica d’aquests dos valors.

 

  1. Moda.

És el valor que surt més cops repetit, el que té la freqüència absoluta més gran.  Pot ocórrer que una variable estadística tingui una moda, dues modes, tres, ...

 

Amb aquestes definicions, farem un parell d’exemples:

1. En una sala de cinema hi ha set espectadors.  A la sortida els preguntem per la seva edat, i les respostes són:

16        21        15        32        18        21        14

 

la mitjana aritmètica és \overline{x}=\frac{16+21+15+32+18+21+14}{7}=\frac{137}{7}=19,57.

La moda ( Mo ) és 21.  És l’únic valor que surt dues vegades.

Per trobar la mediana, ordenarem les edats:

14        15        16        18        21        21        32

 

I com que hi ha 7 valors tenim tres valors a l’esquerra del nombre 18 i tres valors a la dreta del nombre 18.  La mediana és aquest nombre 18.

Me=18.

 

2. Les notes obtingudes en un control per un grup de 8 alumnes són:

4          5          8          4          6          4          8          8

 

la mitjana aritmètica és \overline{x}=\frac{4+5+8+4+6+4+8+8}{8}=\frac{47}{8}=5,87.

La moda és Mo= 4 i 8, ja que aquests valors apareixen tres vegades.

Per trobar la mediana, ordenem les notes:

4          4          4          5          6          8          8          8

Com que hi ha 8 valors, els dos valors centrals són el quart i el cinquè (les notes 5 i 6).  La mediana serà la mitjana aritmètica de 5 i 6.

Me=\frac{5+6}{2}=5,5

 

Si el nombre de dades és gran, aquesta forma de calcular les mesures de centralització no és gens pràctica.  Serà millor construir una taula que tingui aquestes columnes:  xi·F(el producte de cada valor per la seva freqüència) i la freqüència acumulada (Fac).

 

Fem un exemple.  Ara estudiarem 20 notes obtingudes en un control.

6 4 3 5 6
9 6 8 9 5
2 3 6 5 6
8 6 5 6 9

La taula serà:

Xi Fi Xi·Fi Fac
2 1 2 1
3 2 6 3
4 1 4 4
5 4 20 8
6 7 42 15
8 2 16 17
9 3 27 20
Total: 20 117  

La mitjana aritmètica és \overline{x}=\frac{\sum x_i\cdot F_i}{N}=\frac{117}{20}=5,85  .

La moda és  Mo=6.

Per trobar la mediana cal estudiar la columna de la freq. acumulada.  Com que hi ha 20 notes, les dues notes centrals són les que ocupen la posició 10 i 11.  Cal buscar en quin moment la freqüència acumulada arriba a 10 o sobrepassa 10.  I es tracta del valor 6.

La mediana és  Me=\frac{6+6}{2}=6

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.