Unitat 11

La funció de proporcionalitat inversa

Les funcions de proporcionalitat inversa són funcions del tipus \(f(x)\frac{k}{x}\), on k és un nombre qualsevol.

Contingut exercicis

Comencem per estudiar la funció f(x)\frac{1}{x} .  Farem una taula de valors, però observem abans que el domini d’aquesta funció és \mathbb{R} - {0}  (tots els nombres reals menys el zero).  Això és degut a que no es pot calcular la imatge de 0, ja que hauríem de dividir 1/0.

x -2 -1 0 1 2 3 4
y -0,5 -1 symbol 1 0,5 0,33333 0,25

 

A més de dibuixar els punts sobre uns eixos de coordenades, observem que si continuem calculant les imatges de nombres més grans que 4, cada cop apareixen nombres més petits:  0,2  0,16666  0,1428  ...

I si calculem les imatges dels nombres més petits que -2, aniran sortint nombres negatius que cada cop s’acosten més a zero.

MAT_3_68_1

La gràfica de la funció f(x)\frac{1}{x}  té aquesta forma.  Quan la x pren valors molt grans (tendeix a infinit) o molt petits (tendeix a menys infinit), les imatges són valors cada cop més propers a 0.

Just quan x = 0 no hi ha funció, la seva imatge no existeix.  Si prenem valors propers a zero i positius, les seves imatges són cada cop més grans.  Diem que la funció tendeix a infinit.

I si prenem valors propers a zero però negatius, les seves imatges són cada cop menors, tendint a menys infinit.

Quan succeeix això diem que hi ha una asímptota en x = 0.

Les gràfiques d’aquest tipus s’anomenen hipèrboles.

 

Fem ara la taula de valors i la gràfica de la funció f(x)\frac{-4}{x}

x -2 -1 0 1 2
f(x) 2 4  symbol -4 -2

 

MAT_3_68_2

Observem que en aquest cas les dues branques de la hipèrbole es troben al segon i al quart quadrant.

Això és degut a que el valor k és negatiu.

Al primer exemple, amb k = 1 (positiu) les branques de la hipèrbole es trobaven al primer i al tercer quadrant.

I per últim, segons com sigui de gran o de petit el valor k, la hipèrbole es trobarà més allunyada o més ajustada als eixos.

Amb el procediment que hem fet servir per estudiar aquests dos exemples podríem obtenir la gràfica de funcions com:

f(x)\frac{1}{x+5}\qquad\quad f(x)\frac{3}{x-1}

Per cada cas, caldrà començar per estudiar el domini de la funció.

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.