Unitat 41

Interpretació conjunta de la mitjana i la desviació

Calculant la mitjana aritmètica i la desviació típica d’una variable estadística tenim un representant central de totes les dades, i una mesura de com són de disperses o agrupades les dades al voltant d’aquest valor.  Però què ens diu exactament la desviació?

Contingut exercicis

Si estudiem, per exemple, les tres mostres

{0, 0, 14, 14}              {0, 6, 8, 14}                 {6, 6, 8, 8}

  • La mitjana als tres casos és 7.
  • Les seves desviacions típiques són 7, 5 i 1 respectivament.

 

Podem comparar les tres desviacions i afirmar que les dades de la darrera variable es troben tots més a prop de la mitjana que la primera.

I si no volem comparar diferents conjunts de dades?  La desviació típica, a més, ens diu que la majoria de les dades no s’allunyen molt de la mitjana.  Com a molt la distància serà la desviació \sigma.

Si prenen l’interval centrat a la mitjana \overline{x} i d’amplada 2\sigma, aquí dins trobarem un 70% o 75% de les dades.

MAT_13_3_1

 

Si prenem ara l’interval centrat a la mitjana i d’amplada 4\sigma, aquí dins trobarem aproximadament un 95% de les dades.

MAT_13_3_2

 

Ara veurem un exemple.  Considerem aquestes dades.

3 5 2 7 8 5
6 4 5 4 5 4
5 5 6 6 5 3

 

Farem la taula de freqüències:

Xi Fi Xi·Fi Fi·xi2
2 1 2 4
3 2 6 18
4 3 12 48
5 7 35 175
6 3 18 108
7 1 7 49
8 1 8 64
18 88 466

 

La mitjana aritmètica és \overline{x}=\frac{88}{18}=4.8888

I la desviació típica és \sigma=\sqrt{\frac{466}{18}}=-4,8999^2=1.4403

L’interval (\overline {x}-\sigma,\overline{x}+\sigma)=(3.4485 ,6.3291)  conté 13 valors, els 4 , 5 i 6.  I els 5 restants es troben fora de l’interval.  D’un total de 18 dades, dins de l’interval hi ha un 72,22% de les dades.

Si ara prenem l’interval (\overline {x}-2\sigma,\overline{x}+2\sigma)=(2.0082 ,7.7694)     conté 16 de les 18 dades, i això suposa un 88,88% de les dades.

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.