Unitat 23

Igualtats i equacions

Una equació és una igualtat entre dues expressions algèbriques, que conté una o més variables. Les equacions que treballarem en aquesta unitat tindran una única variable, que anomenarem incògnita, i habitualment farem servir la lletra x.

Contingut exercicis

Són equacions, per exemple:

3x + 10 = 16 \qquad\quad \frac{x-2}{5} = 7\qquad\quad x^2 -3 = 2x

 

Per treballar amb les equacions anomenem membres a les dues expressions que formen la igualtat.  Les podrem identificar com el membre de l’esquerra i el membre de la dreta.

També ens referim als termes de l’equació com els monomis que la componen.

 

A l’equació 3x + 10 = 16  tenim, per exemple, dos membres.  El membre de l’esquerra és 3x + 10, i el membre de la dreta és 16.  També podem dir que hi ha 3 termes:   3x, 10 i 16.

Quan tenim una equació, el nostre objectiu serà trobar la solució.  Això consisteix a trobar el valor de la incògnita x que fa certa la igualtat.

A la primera equació: 3x + 10 = 16  , si substituïm la variable pel valor x = 2,  comprovem que es verifica la igualtat.

3\cdot 2 + 10 = 6 + 10 = 16

Direm, aleshores, que la solució de l’equació és x = 2.

 

Algunes equacions molt senzilles es poden resoldre directament, sense aplicar cap mètode matemàtic.  Vegem alguns exemples:

a) 3x =15  →  la solució és el valor x=5

b) x-4=10 → la solució és el valor x = 14

c) 17 + x = 20 → la solució és el valor x = 3

 

Altres equacions, en canvi, no les podrem resoldre únicament amb la nostra intuïció.  Haurem d’aprendre un mètode per trobar la solució.

 

Quan intentem resoldre algunes equacions, comprovem que no hi ha una única solució, sinó que qualsevol valor que vulguem substituir a la variable x fa que la igualtat sigui certa.  En aquest cas es tracta d’una identitat, no pas d’una equació.

 

Vegem un exemple:

  • Si provem el valor  x = 1\rightarrow 3\cdot (1+5)=3\cdot 1+15\rightarrow 3\cdot 6=3+15 \rightarrow 18=18

 

  • Si provem el valor x = 4\rightarrow 3\cdot (4+5)=3\cdot 4+15 \rightarrow 3\cdot 9=12+15 \rightarrow 27=27

 

  • Si provem el valor x = 0\rightarrow 3\cdot (0+5)=3\cdot 0+15 \rightarrow 3\cdot 5=0+15 \rightarrow 15=15

 

Qualsevol valor que provem serà una solució.  Es tracta, per tant, d’una identitat.

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.