Unitat 9

Equacions de segon grau completes

Una equació de segon grau és una equació que podrem escriure com un polinomi de grau dos igualat a zero. \(ax^2 + bx + c = 0\)

Contingut exercicis

Són de segon grau, per exemple:

3x^2-2x+1=0\qquad\quad(x-2)(x+1)=5\qquad\quad\frac{3}{x-2}=x+1

 

En efecte, la primera equació ja està expressada com un polinomi de grau 2 igualat a zero.

La segona equació, si multipliquem els dos parèntesis, és equivalent a

x^2+1x-2x-2=5\rightarrow x^2-x-2=5\rightarrow x^2-x-7=0

 

I a la tercera equació podem multiplicar els dos membres de l’equació per (x-2):

\frac{3\cdot(x-2)}{x-2}=(x+1)(x-2)\rightarrow 3=(x+1)(x-2)\rightarrow 3=x^2-2x+x-2

 

0=x^2-x-2-3\rightarrow x^2-x-5=0

 

La fórmula de l’equació de segon grau.

Si tenim una equació de segon grau del tipus

ax^2 + bx + c = 0

amb tots els termes diferents de zero, podrem trobar les solucions de l’equació amb la fórmula

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

 

Exemples:

1.      x^2-7x+10=0

Els coeficients d’aquesta equació són:  a = 1, b = -7  i  c = 10.  Aleshores substituirem aquests tres nombres a la fórmula:

x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 1\cdot 10}}{2\cdot 1}=\frac{7\pm\sqrt{49-40}}{2}=\frac{7\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{7\pm3}{2}\Rightarrow \begin{matrix}x1=\frac{7+3}{2}=5 & \\x2=\frac{7-3}{2}=2 &\end{matrix}

En aquest cas, l’equació de segon grau té dues solucions.

 

2.      x^2+6x+9=0

Els coeficients d’aquesta equació són:  a = 1 , b = 6  i c = 9.  Ara ja els podem substituir a la fórmula:

x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 1\cdot 9}}{2\cdot 1}=\frac{-6\pm\sqrt{36-36}}{2}=\frac{-6\pm0}{2}\Rightarrow \begin{matrix}x_1=\frac{-6+0}{2}=-3& \\x_2=\frac{-6-0}{2}=-3 &\end{matrix}

En aquest cas les dues solucions de l’equació són el mateix nombre.  Podem dir que té una única solució.

 

3.      2x^2-5x+2=0

Els coeficients d’aquesta equació són:  a = 2 , b = -5  i c = 2.  Ara ja els podem substituir a la fórmula:

x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2}}{2\cdot 2}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{4}=\frac{5\pm\sqrt{9}}{4}=\frac{5\pm3}{4}\Rightarrow \begin{matrix}x_1=\frac{5+3}{4}=2 &\\x_2=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}&\end{matrix}

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.