Unitat 38

El teorema de Tales

El teorema de Tales ens diu que si tenim dues rectes que es tallen en un punt O i les tallem amb dues o més rectes paral·leles, els segments que obtenim sobre una recta i sobre l’altra són proporcionals.

Contingut exercicis
MAT_28_3_1

Que els segments siguin proporcionals vol dir que quan els prenem per parelles, aquestes divisions sempre són iguals:

\frac{OA}{OB}=\frac{OA'}{OB'}=\frac{AA'}{BB'}

Per exemple:

MAT_20_3_1

\frac{10}{8}=\frac{12}{9,6}=1,25

Aquest teorema ens permetrà calcular algun costat desconegut sempre que tinguem figures proporcionals.

 

Exemple 1.

Un fanal projecta una ombra de 5,3 metres, i al mateix instant un noi que fa 1,70 m d’alçada projecta una ombra de 2,8 metres.  Calcula l’alçada del fanal.

MAT_28_3_4

Hem de suposar que, com que les mesures es prenen al mateix instant, els dos triangles es troben en  la posició del teorema de Tales.  Podríem desplaçar el triangle petit dins del triangle gran, de forma que  coincideixi un dels vèrtexs.

Com que es troben en posició de Tales, els triangles són proporcionals, i per tant podem fer:

\frac{h}{1,7}=\frac{5,3}{2,8}\Rightarrow 2,8h=1,7\cdot 5,3\Rightarrow h=\frac{1,7\cdot 5,3}{2,8}=3,21m

 

Exemple 2.

Es vol construir una rampa inclinada per unir un punt que es troba a 3 metres sota el nivell del mar amb un altre punt elevat, situat a 12 metres d’altitud.  La part de la rampa que es troba sota el nivell del mar fa 5 metres.  Quants metres mesurarà la part de la rampa sobre el nivell del mar?

MAT_28_3_6Els dos triangles es troben també en posició de Tales, i per tant els segments són proporcionals.

 

\frac{12}{3}=\frac{x}{5}\Rightarrow x=\frac{12\cdot 5}{3}=20\text{ metres}

 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.