Unitat 18

Dependència entre variables

Una funció és una relació de dependència entre dues magnituds (variables), de forma que a cada valor d’una li correspon un únic valor de l’altra.

Contingut exercicis

Imagina, per exemple, que tenim un dipòsit amb 200 litres d’aigua, i en un instant donat obrim una aixeta.  A mesura que passa el temps, el contingut del dipòsit va minvant.  Ho representem en una taula:

Temps 0 1 2 5 10 15
Litres 200 195 190 175 150 125

Les dues magnituds que intervenen en aquest exemple són:  el temps i la capacitat.  Diem que el temps és la variable independent, i la capacitat és la variable dependent.

A cada valor del temps li correspon un únic valor de la capacitat.  Diem que el volum d’aigua està en funció del temps transcorregut.  S’acostuma a escriure com  y = f(x), on y són els litres i x el temps.

 

Imatges i antiimatges.

Quan tenim una funció, a cada valor x de la variable independent li correspon un únic valor y, que anomenem imatge de x.

Si prenem un valor y de la variable dependent, l’antiimatge és el valor o els valors que tenen com a imatge y.

MAT_3_63_1

 

Domini i recorregut.

El domini d’una funció és el conjunt de valors de la variable independent que tenen imatge.  S’acostuma a escriure com Dom (f)  o D(f).

El recorregut és el conjunt de valors de la variable dependent que pren la funció.  Ho escriurem com Rec(f) o R(f).

Exemple.  Considerem la funció que a cada nombre x li fa correspondre el valor  x^2.

MAT_3_63_2

El domini és el conjunt de valors que té imatge.  En aquest cas Dom(f) són tots els nombres reals \mathbb{R} .

El recorregut és el conjunt de valors que pren la variable dependent.  En aquest cas està format pels nombres positius o zero.  Rec(f) = [ 0 , +∞ ).

Si prenem ara la funció y=\frac{1}{x} , el seu domini és el conjunt de nombres reals menys el zero.  Això és degut a que no podem calcular la divisió \frac{1}{0}.

 

Expressió algèbrica d’una funció.

De vegades podem expressar una funció mitjançant una fórmula.  Amb aquesta fórmula podem calcular la imatge de qualsevol valor x.

A l’exemple inicial, del dipòsit d’aigua, l’expressió algèbrica de la funció seria:

f(x)=200-5x

i per tat, podem calcular les imatges substituint els valors a la variable x:

f(1)=200-5\cdot 1 = 195

f(5) = 200 - 5\cdot 5 = 175

Si volem calcular l’antiimatge d’algun valor, per exemple y = 100, faríem:

f(x) = 100\rightarrow 200 - 5x = 100 \rightarrow 200 -100 = 5x\rightarrow x= \frac{100}{5}=20

Això vol dir que arribarem a tenir 100 litres d’aigua transcorreguts 20 minuts.

 

Representació gràfica d’una funció.

Donada una funció, per poder representar-la gràficament hem de construir una taula de valors.  Això consisteix a donar uns quants valors a la variable independent x, i calcular les seves imatges.

x x1 x2 x3 x4
y = f (x) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4)

Després dibuixarem sobre uns eixos de coordenades els punts de la forma  ( x1, f(x1) ), ( x2, f(x2) ), ...

 

Exemple.

Estudiarem la funció  f(x) = 2x + 1

La taula de valors és:

x 0 1 2 3 4
y = f (x) 2·0+1 = 1 2·1+1 = 3 2·2+1 = 5 2·3 + 1 = 7 2·4 +1 = 9

I ara representem els punts  ( 0 , 1 ),  ( 1 , 3 ), ( 2 , 5 ), ( 3 , 7 ), ...

MAT_3_63_3
 

Exercici 1

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 2

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.

Exercici 3

Respon a les següents preguntes per avaluar el que has après.